有损差动积分器传递函数的推导

简介：
本文档详细探讨了有损差动积分器的传递函数推导过程，通过分析其内部电路结构和数学模型，系统地阐述了从微分方程到传递函数的具体步骤。 在电子工程领域，传递函数是分析线性时不变系统（LTI）动态特性的关键工具。本主题将详细探讨有损积分器和差动积分器的传递函数推导过程。 首先来看有损积分器的传递函数。一个典型的有损积分器由电阻R1、电容C2以及输入电压Vi(s)构成，输出电压为Vo(s)。根据基尔霍夫电压定律，可以得到以下关系： \[ V_i(s) - \frac{0}{R_1} = \frac{0 - V_0(s)}{R_2} \] 通过整理上述方程式，我们得出有损积分器的传递函数为： \[ V_0(s) = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{sC_2V_i(s)}{1 + sC_2} \] 这里的s是复频率，表示\( s = σ + jω \)，其中σ代表系统的稳定性（实部），而ω则代表角频率（虚部）。将s替换为jω后，我们得到有损积分器在频域中的传递函数H(jω)： \[ H(j\omega) = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{j\omega C_2}{1 + j\omega C_2} \] 这个传递函数描述了输入信号频率对输出信号的影响，其幅度和相位特性可以进一步分析系统的频域响应。 接下来讨论差动积分器的传递函数。该电路由两个输入电压V1(s)和V2(s)，电阻R1、R2以及电容C1、C2组成。通过节点电压法分析可得： \[ V_+ = \frac{V_{i2}(s) R_2 + 1/s C_2}{1 + 1/s C_2} \] \[ V_- = V_+ \cdot \frac{1/s C_2}{1/s C_2} \] 进一步地： \[ V_0(s) = \frac{V_{i1}(s) - V_{i2}(s)}{1/(sC_1) + 1/(sC_2)} \] 假设R1=R2=R且C1=C2=C，我们可以简化上述关系为： \[ V_i2(s) - V_i1(s) = RC \cdot V_0(s) \] 进而得到差动积分器的传递函数表达式： \[ V_0(s) = \frac{V_{i2}(s) - V_{i1}(s)}{RC s} \] 将s替换为jω后，我们获得差动积分器在频域中的传递函数形式： \[ V_0(j\omega) = \frac{V_i2(j\omega) - V_i1(j\omega)}{R C j\omega} \] 这个传递函数揭示了输入信号间的差异以及频率对输出的影响。 综上所述，有损积分器的H(jω)和差动积分器的V_0(jω)都是描述输入与输出之间关系的关键数学表达式。它们帮助我们理解电路在不同频段下的动态特性，并可用于设计滤波器或控制系统中的控制器等应用中，以确保系统性能符合特定频率范围内的需求。