Python中利用梯度下降与牛顿法求解Rosenbrock函数极小值示例

简介：
本文通过实例展示了如何运用Python编程语言中的梯度下降和牛顿法算法来寻找具有挑战性的Rosenbrock函数的全局最小值。 在机器学习与优化领域内寻找函数的最小值是一项常见的任务，并且梯度下降法与牛顿法是两种常用的解决方法。本段落将详细探讨这两种算法如何应用于Rosenbrock函数最优化问题。 首先，我们需要了解什么是Rosenbrock函数及其特性。该测试函数具有鞍点形状的谷底，在二维空间中特别挑战性，因为它的最小值位于一个曲率变化较大的区域。其定义为 \(f(x, y) = (1 - x)^2 + 100(y - x^2)^2\) ，在(1, 1)位置达到全局最小值\( f(1, 1) = 0 \)。 **梯度下降法** 是一种基于函数局部最速下降方向的迭代优化策略。通过沿着负梯度的方向移动，可以逐步接近函数的极小点。其更新公式为 \(Δx = -α · ∇f(x, y)\)，其中\(α\)是学习率，\(\nabla f(x, y)\)表示在点 \((x,y)\)处的梯度向量。实验中选择的学习率为0.002，如果增加到如0.003，则会导致振荡现象。 **牛顿法** 则是一种更为复杂的优化策略，它利用函数的一阶和二阶导数信息来近似局部行为。其更新公式为 \(Δx = -H^{-1}(x, y) · ∇f(x, y)\)，其中\(H(x,y)\)是海森矩阵（即包含所有二阶偏导的矩阵），而\(H^{-1}\)为其逆矩阵。在处理Rosenbrock函数时，牛顿法仅需迭代5次即可找到最小值点，这表明其收敛速度极快。 实验中使用了Python中的`numpy`和`matplotlib`库来实现这两种算法，并通过绘制等高线图直观展示了优化过程的轨迹与结果。梯度下降采用固定的学习率\(α\)，并利用梯度范数小于阈值（如 \(10^{-4}\)）作为收敛标准；而牛顿法则直接计算海森矩阵及其逆矩阵来确定更新向量。 尽管牛顿法在理论上具有更快的收敛速度，但其主要缺点在于需要计算复杂的海森矩阵，在高维问题中这可能会变得非常耗时。相比之下，梯度下降虽然可能需要更多的迭代次数才能达到最优解，但它不需要二阶导数信息，因此更加灵活与高效。 综上所述，本段落通过对比分析两种方法在求解Rosenbrock函数最小值上的应用情况，揭示了不同优化算法之间的差异及其性能特点。这对于理解和实现各种优化策略，在实际的机器学习模型训练中具有重要的参考价值。