测度论与概率论，Measure Theory and Probability Theory by Krishna B. Athreya

简介：
《测度论与概率论》由Krishna B. Athreya撰写，是一本全面介绍测度理论及其在概率论应用中的核心概念和方法的教材，适用于研究生学习。 《测度论与概率论》是Krishna B. Athreya所著的一部经典教材，并由Springer出版社出版，在Iowa州立大学的统计学教学中被广泛使用。这本书深入探讨了测度论和概率论的基础理论及其在统计学中的应用，以下将对其中的主要知识点进行详细阐述。 **测度论部分** 1. **σ-代数**：定义测度的前提条件之一，它是一组集合构成的系统，并满足特定的封闭性属性。 2. **测度**：分配非负值给σ-代数中每个集合的函数。它可以是有限、可数无穷大或完全无限。Lebesgue测度是最著名的例子，在实线上的长度概念得以扩展。 3. **积分**：书中可能介绍勒贝格积分，它是黎曼积分的一种推广形式，能够处理更广泛的函数类型，包括不连续和无穷的函数。 4. **Banach空间与Hilbert空间**：这些是测度论中常用的函数空间，在理解随机过程及概率极限定理时扮演重要角色。 **概率论部分** 1. **概率空间**：由样本空间、事件的σ-代数以及定义在该集合上的概率测度组成的三元组，建立了概率模型的基础框架。 2. **条件概率**：指已知某些信息情况下发生的概率。书中可能详细讨论了Bayes公式及其应用。 3. **独立事件**：如果两个或多个事件的发生互不影响，则称这些事件相互独立。理解这一概念对于构建复杂的概率模型至关重要。 4. **随机变量**：它可以是离散的，如掷骰子的结果；也可以是连续型的，比如人的身高。它们的概率分布构成了概率论的核心内容。 5. **大数定律**：描述了随着试验次数增加样本均值趋于期望值的现象。它包括弱大数定律和强大数定律两种形式。 6. **中心极限定理**：无论原始分布如何，独立同分布随机变量之和通常会趋近于正态分布，这是统计推断的基础理论之一。 7. 其他章节可能深入探讨分支过程、马尔可夫过程及更广泛的随机系统行为分析。 8. **鞅**：在概率论中指具有特殊性质的随机过程，在金融工程与风险管理领域有着广泛应用。 9. **乘积测度、卷积和变换**：这些概念涉及概率分布组合与转换，对于理解和构建复杂模型非常有用。 每个章节都专注于特定主题，例如《Branching Processes.pdf》可能详细讲解分支过程理论及其应用，《Central Limit Theorems.pdf》则全面讨论各种形式的中心极限定理。通过阅读这些篇章，读者可以系统地学习和掌握测度论与概率论的基本概念、理论及方法，并为在统计学及相关领域进行深入研究奠定坚实基础。