数值分析中的线性方程组：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法（基于MATLAB）

简介：
本课程专注于数值分析中求解线性方程组的方法，着重讲解Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法，并通过MATLAB进行实践应用。 在数值分析领域中，解决线性方程组是一项基础且重要的任务。当处理大规模的线性方程组时，直接求解方法（如高斯消元法）效率低下，因此迭代法成为首选方案之一。本段落将深入探讨两种常用的迭代法：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，并结合MATLAB编程进行详细讲解。 线性方程组的一般形式为 Ax = b，其中A代表系数矩阵，x表示未知数向量而b则是常数向量。迭代法的基本理念是通过构造一系列近似解{x_k}来逐步逼近真实解。 Jacobi迭代法基于以下公式： \[ x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L + U)x^k) \] 其中，D、L和U分别代表矩阵A的对角部分、下三角部分以及上三角部分。x^k表示第k次迭代得到的结果。Jacobi方法的一个显著特点是每次更新时仅使用当前迭代值而不考虑前一次迭代结果的影响。 相比之下，Gauss-Seidel法在每个元素更新过程中利用了最新的估计值： \[ x_i^{(k+1)} = (D^{-1})(b_i - \sum_{j