《线性代数导论》(第五版)第七章第四节主要探讨了特征值与特征向量的概念及其应用，深入解析了矩阵对角化的过程和意义。
《线性代数导论》第五版7.4节的中文翻译如下：
1. 一个典型的方阵A可以分解为UΣV^T的形式，这表示先进行一次旋转（由矩阵V完成），然后拉伸（对角矩阵Σ实现），最后再做一次旋转（通过矩阵U）。
2. 几何上来看，这种变换将单位圆上的向量变成了椭圆形的Ax。
3. A的范数定义为||A|| = σ1，其中σ1是最大的奇异值，也就是最大增长因子 ||Ax|| / ||x|| 的体现。
4. 极分解把矩阵A写成QS的形式：Q作为旋转（由UVT表示），而S则代表拉伸操作（VΣVT）。
5. 伪逆 A+ = VΣ+UT的作用是将列空间中的向量 Ax 还原到行空间中对应的 x。奇异值分解(SVD)可以把一个矩阵拆解为三个部分：(正交矩阵) × (对角矩阵) × (另一个正交矩阵)，用通俗的语言来说就是：(旋转) × (拉伸) × (旋转)。
UΣV^T 作用于向量x的过程是这样的：
- 首先，通过 V^Tx 进行一次旋转；
- 然后 Σ 对这个新的向量进行拉伸操作得到 ΣV^Tx；
- 最终 U 再次对其进行旋转，从而得到最终的 Ax = UΣV^T x。
5星
