II-5. HJB方程（一）
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简介：
HJB方程（一）介绍了最优控制理论中的核心数学工具——Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的基本概念和性质，为后续深入研究打下基础。
HJB方程是关于最优控制理论的重要概念，在工程、经济学、运筹学等领域有着广泛应用。它全称为Hamilton-Jacobi-Bellman方程，是在连续时间最优控制问题中动态规划方法的核心工具。
理解一个基本的最优控制问题框架：
1. **状态方程**：描述了系统状态随时间和控制变量的变化关系，通常表示为 \( x(k+1) = f_D(x(k), u(k), k) \)，其中 \( x(k) \) 是状态变量，\( u(k) \) 是控制变量，\( f_D \) 是状态转移函数，\( k \) 表示时间步骤。
2. **容许控制**：定义了控制变量 \( u(k) \in U \) 和状态变量 \( x(k)\in X \) 的取值范围。
3. **目标**：优化问题的目标通常是指到达特定目标状态，如 \( x(N) \in S \)，其中 \( N \) 是问题的最终时间步。
4. **性能指标**：衡量控制策略优劣的标准，通常是累积成本或收益。表示为 \( J(u; x(k), k) = h_D(x(N), N) + \sum_{i=k}^{N-1} g_D(x(i), u(i), i) \)，这里 \( h_D \) 和 \( g_D \) 分别是终端成本函数和阶段成本函数。
接下来，我们进入HJB方程的核心部分。HJB方程是由Richard Bellman提出的动态规划理论的一部分，它描述了如何找到最优控制策略的微分方程形式。在最优性原理的基础上，HJB方程表达了这样一种思想：无论初始条件如何，最优控制路径的性能指标对于从这个初始条件演变出来的所有可能状态路径都是最优的。
**定理1 (最优性原理)** 指出，在采用最优策略时，不论初始状态如何，累积成本将是全局最低的。
**定理2 (Bellman方程)** 给出了HJB方程的形式：存在一个值函数 \( V(x_0, k_0) \)，它给出了从初始状态 \( x_0 \) 和时刻 \( k_0 \) 开始，采用最优策略时的最小性能指标。具体来说：
- 当 \( k=N \) 时，\( V(x(N), N) = h_D(x(N), N) \)
- 对于 \( k < N \)，值函数满足动态规划方程：\( V(x(k), k) = \min_{u(k)\in U}\left\{g_D(x(k), u(k), k) + V(x(k+1), k+1)\right\} \)
HJB方程与拉格朗日变分法、哈密尔顿方程组以及经典变分原理有着密切的关系，特别是在控制理论中。当值函数二次可微时，它为寻找最优控制提供了数学基础。
这一理论在许多实际问题中都有广泛应用，如自动控制、经济模型和金融决策等领域。通过求解HJB方程，我们可以找到使性能指标最小化的最优控制策略。
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