myGPR(): 非线性函数的高斯过程回归演示 - MATLAB开发
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简介：
myGPR()是一款用于展示非线性函数高斯过程回归技术的MATLAB工具。它为用户提供了直观理解复杂数据建模的方法，尤其适用于机器学习和统计分析领域。
高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）是一种在机器学习领域用于建立非线性模型的方法，尤其适用于处理小样本数据集的情况。本段落将探讨如何使用MATLAB进行非线性函数的GPR，并涵盖有噪声和无噪声情况下的应用。
首先，我们需要理解高斯过程的基本概念：它是一个概率分布形式，其中任何有限子集都服从多维正态（或称高斯）分布。在GPR中，我们假设目标函数是来自一个特定高斯过程的样本，从而可以构建出以该过程为先验知识的概率模型。
实现MATLAB中的GPR需要遵循以下步骤：
1. **数据准备**：生成一些非线性函数的数据点作为输入输出对（例如`x`和相应的`y = sin(x) + noise`），其中噪声代表随机误差。
2. **定义协方差函数（核函数）**：选择合适的核函数，如高斯核或多项式核。在本示例中使用高斯核来表示非线性关系，其公式为 `k(x_i, x_j) = exp(-γ||x_i - x_j||^2)` ，其中`γ`是控制数据点间距离影响的超参数。
3. **创建高斯过程对象**：利用MATLAB中的`fitrgp`函数基于输入变量和目标变量以及所选核函数等设置，建立一个GPR模型。
```matlab
rng(default) % 为了可重复性
model = fitrgp(X, Y, KernelFunction, gaussian);
```
4. **训练模型**：通过调用`train`方法对上述创建的模型进行优化，确定最佳超参数。
```matlab
model = train(model);
```
5. **预测新数据**：使用经过训练后的GPR模型来预测新的输入值，并得到相应的输出值及其标准差。
6. **无噪声情况下的处理**：在这种情况下假设观测没有随机误差，可以通过调整核函数或优化算法使得拟合更加准确。
7. **有噪声条件下的方法**：在存在随机测量误差的情况下，GPR模型会包含一个表示这种不确定性的项。MATLAB的`fitrgp`默认假定观测值中包括高斯分布噪音，并允许通过调节噪声方差来适应不同的数据集。
8. **评估与可视化结果**：使用如均方根误差（RMSE）、决定系数等指标对模型性能进行评价，同时可以通过绘制原始观察点、预测曲线及标准偏差带以直观展示模型的拟合效果和不确定性范围。
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