主成分分析与因子分析在多元统计中的应用

简介：
本论文探讨了主成分分析和因子分析在处理多元数据时的应用价值，旨在通过这两种方法简化数据分析过程并提取关键信息。适合对多元统计有兴趣的研究者阅读。 ### 多元统计分析之因子分析与主成分分析 #### 因子分析 ##### 分析模型 因子分析是一种简化复杂数据集的统计方法，通过寻找潜在不可观测变量（即因子）来解释可观测变量之间的相关性。这种方法能够减少变量数量，并保留大部分信息。特别适用于处理具有高度相关性的多个变量的情况。 以区域公共事业发展评价体系为例，假设我们有12个指标（如城区面积、建成区面积、人均公园绿地面积等），这些指标共同描述一个地区的公共事业发展状况。因子分析的目标是识别这些指标背后的核心驱动因素或“因子”，从而简化评价过程。 数学上，因子分析可以表示为线性组合形式： \[ X_i = a_{i1}F_1 + a_{i2}F_2 + \ldots + a_{im}F_m + \mu_i \] 其中， - \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) 表示 p 个均值为0、标准差为1的标准化变量。 - F表示 m 个因子变量，m < p。 - \(a_{ij}\) 是因子载荷，即因子\(F_j\)对变量\(X_i\)的影响程度。 - \(\mu_i\)是特殊因子，表示未被因子解释的部分。 公式可进一步表示为矩阵形式： \[ X = AF + \mu \] ##### 标准化数据 为了确保分析结果不受原始数据量纲和数值范围影响，需要对数据进行标准化处理。这通常涉及将每个变量转换为其标准分数（即减去平均值后除以其标准差）。所有变量都处于相同的尺度上，有助于提高因子分析的有效性和可靠性。 ##### 模型适用性检验 在进行因子分析之前，需检查数据是否适合此类分析。常用的检验方法是Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) 测量值和Bartlett球形度检验。KMO值越高（接近1），表明变量之间存在较高相关性，适合进行因子分析；Bartlett球形度检验用于判断变量间的相关矩阵是否为单位矩阵，如果显著性水平小于0.05，则认为变量间存在显著相关性，适合进行因子分析。 ##### 公因子的确定 公因子确定过程包括： 1. **提取初始因子**：通过主成分分析或其他方法。 2. **旋转因子**：使用正交或斜交旋转使因子更易于解释。 3. **确定因子数量**：基于特征值、碎石图或理论基础决定保留多少因子。 4. **解释因子**：根据载荷矩阵来解释每个因子的实际含义。 #### 主成分分析 ##### 分析模型 主成分分析(PCA)也是一种简化数据集的方法，但其目标是找到方差最大的方向（即“主成分”），这些方向是原始变量的线性组合且相互正交。PCA通过保留最重要的几个主成分来降低维度，并尽可能多地保持原始信息。 与因子分析类似，PCA涉及数学模型构建，关注点在于数据的方差最大化。 ##### 标准化数据 进行PCA前同样需要对数据标准化处理，以消除不同变量之间的量纲差异。这一步对于确保结果准确性至关重要。 ##### 确定主成分 确定主成分包括： 1. **计算协方差矩阵**：理解数据关系的基础。 2. **求解特征值和特征向量**：特征值表示各主成分的方差大小，特征向量指明最大方差方向。 3. **选择主成分**：通常保留解释总方差较大比例的主成分。 4. **计算主成分得分**：通过将原始数据投影到新的空间来计算。 #### 主成分分析与因子分析联系与区别 ##### 联系 1. 目标相似：两者旨在简化数据集，降低维度。 2. 数学基础相似：都依赖于对数据的数学变换。 3. 应用场景相同：在市场研究、社会科学等领域广泛应用。 ##### 区别 1. **目标不同**：PCA关注方差最大化，而因子分析侧重识别潜在因子。 2. **假设不同**：PCA假设所有变量由主成分线性组合而成；而因子分析认为观测变量是由几个潜在因子加上误差项组成。 3. **解释不同**：PCA的主成分通常没有具体意义，而因子具有明确的实际含义。 4. **数据要求不同**：PCA适合于大量数据情况，而因子分析适用于多变量情形。