MATLAB中牛顿差商法详解与差商表制作方法
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简介：
本文深入解析了MATLAB环境中应用牛顿差商法进行多项式插值的方法，并详细介绍了如何利用MATLAB生成和操作差商表，为数值分析学习者提供实用的编程指南。
牛顿差商法详解及其差商表做法
本段落将详细介绍牛顿插值公式中的一个重要组成部分——差商的概念以及如何构造差商表。通过学习这部分内容，读者可以更好地理解和应用牛顿插值方法来解决实际问题中遇到的多项式逼近和数据拟合等问题。
首先回顾一下背景知识：当需要对一系列离散点进行函数建模时（即给定一些(x,y)坐标对），我们可以使用拉格朗日插值法或者牛顿差商法构造一个通过所有已知点的多项式。相比于直接应用拉格朗日形式，采用基于差分或差商的方法能够提供一种更为灵活且易于更新的方式。
接着进入主题：定义及计算过程
1. 定义一阶向前/向后差商：
已知函数f在x0,x1处的值分别为y0=f(x0), y1=f(x1)，则称(y1-y0)/(x1-x0)为f关于点集{x0, x1}的一阶前（或后）向差商，记作Δf[x0, x1]。
2. 递归定义高阶差商：
对于k≥2时的第k阶向前/向后差商可以按照如下方式计算：设已知了所有直到(k-1)阶为止的所有前（或后）向差商，则有
Δf[x0, x1,...,x_{k}]=Δf[x1,x2,...,x_{k}] - Δf[x0,x1,...,x_{(k-1)}] / (x_k-x_0)
3. 构造差商表：
差商表是一个表格形式，用于记录各个不同阶次的差商值。具体构造时先将已知数据点按横行顺序排列在第一列；然后依次计算并填充后续各阶差商至对应位置。
最后总结一下：通过上述步骤可以有效地构建出一个完整的牛顿插值多项式表达式，进而实现对给定离散数据集的精确逼近。此方法不仅适用于等间距的数据点序列，在非均匀分布的情况下也表现出强大的适应能力。
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