关于单变量线性回归的解析解与梯度下降算法探讨
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简介：
本篇文章深入探讨了单变量线性回归中解析解和梯度下降算法的应用及比较，旨在帮助读者理解这两种方法在求解最小化成本函数过程中的异同及其优劣。
单变量线性回归是数据分析与机器学习中最基础的预测模型之一。它通过建立一个简单的数学方程来预测连续输出变量，基于一个或多个输入变量进行分析，在这里我们只关注包含单一输入变量的情况，即单变量线性回归。
该方法的核心在于寻找一条最佳拟合直线以最接近地贴近所有数据点。这条直线通常表示为 `y = wx + b` ，其中 `y` 是目标值、`x` 代表输入值、而 `w` 和 `b` 分别是权重（斜率）和截距。
我们的任务是在给定的数据集中找到最佳的 `w` 和 `b` 值，使得所有数据点到直线的距离最小化。在单变量线性回归中可以使用解析解或梯度下降算法来求得这些参数的最佳值：
**解析方法：**
利用最小二乘法计算出最优权重和截距，其数学公式为：
\[ X^T \cdot X \cdot θ = X^T \cdot y \]
这里 `X` 代表输入数据矩阵、`y` 是目标变量向量。
求解上述线性方程组可以得到最佳的参数值（即权重和截距）。
**梯度下降算法：**
该方法通过迭代更新权重 `w` 和偏置项 `b` 的值，以达到最小化损失函数的目的。在单变量回归中常用均方误差作为损失函数：
\[ \text{Loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - (wx_i + b))^2 \]
其中的迭代公式为：
\[ w := w - α\cdot(1/n) * Σ[(y_i - wx_i - b)*x_i] \]
\[ b := b - α\cdot(1/n) * Σ[y_i - wx_i - b] \]
这里，`α` 是学习率参数、控制每次更新的步长大小。
通过上述方法可以实现单变量线性回归模型，并应用到实际问题中去。此过程对于理解机器学习的基础概念非常重要。
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