《北京大学高等代数课程教案》是一份由北京大学数学科学学院精心编写的教学资料，涵盖了高等代数的核心内容与经典例题。该教案旨在帮助学生深入理解抽象代数的基本概念和理论，并通过丰富的习题训练提升学生的解题技巧和逻辑思维能力。
### 北大高等代数授课教案知识点概览
#### 第一学期第一次课
##### 第一章：代数学的经典课题
**1.1.1 代数系统的概念**
- **定义**：一个集合如果在其内部定义了一种或多种代数运算，并且这些运算遵循特定的规则，则该集合被视为一个代数系统。
**1.1.2 数域的定义**
- **定义**：数域是由某些复数组成的集合，满足以下条件：
- 该集合至少包含两个不同的复数；
- 对于所有( a, b \in K )，\(a+b\), \(a-b\), 和 \(ab\)（当 \(b \neq 0\)时）都属于该集合。
**例1.1 典型的数域举例**
- 复数域(\mathbb{C})；
- 实数域(\mathbb{R})；
- 有理数域(\mathbb{Q})；
- Gauss数域（包含形如\(a + bi\) 的复数组成，其中 \(i = \sqrt{-1}\) 和 \(a, b \in \mathbb{Q}\)）。
**命题**：任意数域都包含有理数域\(\mathbb{Q}\)。
- **证明**：假设\(K\)为任一数域。根据定义，存在非零元素\(a \in K\)，则 \(a^{-1} \in K\)。进一步地，对于所有的整数\(m > 0\)有 \(\frac{1}{m} \in K\)。由此可以推导出\(\frac{n}{m} \in K\) 对于所有正整数\(n, m\)，从而证明了\(\mathbb{Q} \subseteq K\)。
**1.1.3 集合的运算与集合映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念**
- **定义**：给定两个集合A和B：
- \(A\) 和\(B\) 的交集由同时属于\(A\)和\(B\)的元素组成；
- 并集由属于\(A\)或\(B\)的元素组成；
- 差集由属于\(A\)但不属于\(B\)的元素组成。
- **集合映射**：给定两个集合 \( A \) 和 \( B \)，如果存在法则 \( f \)，使得对于每个 \( a \in A \)，都有唯一确定的 \( b \in B \) 与之对应，则称 \( f \) 是从\(A\)到\(B\)的一个映射。
- 若对所有\(a, a \in A\), \(a \neq a\)意味着\(f(a) \neq f(a)\)，则称\(f\)为单射；
- 若对于所有的 \( b \in B \)，存在一个 \( a \in A \)，使得 \( f(a) = b\)，则称映射为满射。
- 如果\(f\)既是单射又是满射，则称为双射或一一对应。
**1.1.4 求和号与求积号**
- **定义**：对于数域中的n个数\(a_1, a_2,..., a_n \)，可以使用求和符号\(\sum_{i=1}^{n} a_i\) 和乘积符号\(\prod_{i=1}^{n} a_i\) 来简化表示。
- **性质**：求和号具有以下性质：
- \(\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i = \lambda \sum_{i=1}^{n}a_i\)；
- \(\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) =\sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i\)；
- \(\sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{m} a_{ij}\right)=\sum_{j=1}^{m}\left( \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\right)\)。
#### 第一学期第二次课
##### §2 一元高次代数方程的基础知识
**1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题**
- **高等代数基本定理**：设\(K\)为一个数域，\(\mathbb{K}[x]\)表示系数在 \( K \) 上的以 \( x \) 作为变量的一元多项式的全体。对于任何非零多项式（例如 \( f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a
5星
