SGD算法的原理与实现详解
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简介：
本篇文章详细解析了SGD（随机梯度下降）算法的工作原理，并通过实例介绍了如何在实践中实现该算法。适合初学者和进阶读者深入理解并应用SGD优化模型训练过程。
反向传播（backpropagation）解决的核心问题是计算损失函数 \(C\) 对权重 \(w\) 和偏置 \(b\) 的偏导数，其中 \(C = C(w, b)\)。
整体来说，这个过程分为两步：
1. 计算中间变量：\(z = w \cdot a + b\)
2. 通过激活函数计算当前层的输出值：\(a = \sigma(z)\)，这里 \(a\) 表示上一层的输出值，而 \(a\) 则表示当前这一层的输出。
具体步骤如下：
1. 输入数据 \(x\) 后，首先进行正向传播更新所有层的激活函数结果。
2. 计算输出层误差：\(\delta = (y - a) \cdot \sigma(z)\)，其中 \(y\) 为实际标签值，\(a\) 是网络预测值，而 \(\sigma\) 表示sigmoid函数对输入变量 \(z\) 的导数。
3. 然后计算输出层之前的每一层的误差：\(\delta = W^T \cdot \delta_{next} \odot \sigma(z)\)，这里\(W\)表示当前层到下一层之间的权重矩阵，而\(\delta_{next}\)是下一层次的误差。
4. 最终根据上述公式求得损失函数对 \(b\) 和 \(w\) 的偏导数。
在实现时可以使用如 Python 中的 numpy 库来简化向量和矩阵运算。
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