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Fourier-Motzkin 消除法用于求解不等式组 (A*x <= b...)。

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简介：
基于 A. Schrijver (1986) 著作的《线性和整数规划理论》，运用了傅里叶-莫茨金消除法来处理不等式系统。此外，该方法还具备去除冗余约束的不平等项的功能。

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  • Fourier-Motzkin Elimination: 不等式系统的 Fourier-Motzkin 消除 (A*x <= b...)
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    Fourier-Motzkin消元法是一种用于线性不等式系统求解的技术，通过逐步消除变量来简化问题。本文探讨其在不等式Ax<=b中的应用与原理。 根据A. Schrijver（1986）所著的《线性和整数规划理论》一书，可以将傅里叶-莫茨金消除法应用于不等式系统，并且该方法还包含减少多余不平等的内容。
     
  • 2.6 消元法等于因式分解：A = LU
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    本节介绍线性代数中消元法与矩阵LU分解的关系，揭示如何通过行变换将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。 学生们常常抱怨数学课太理论化了。然而本节课则完全不同——它几乎完全是实践性的内容。我们的目标是以一种最为实用的方式去阐述高斯消元法的应用。当你深入观察后，会发现许多关键的线性代数概念实际上都是通过矩阵分解来实现的：原始矩阵A可以被转化为两个或三个特定矩阵相乘的形式。 首先介绍的第一个也是在实际应用中最重要的因式分解就是由消元过程产生的形式——即 A = LU 的分解。这里，因子L和U分别是下三角形与上三角形的特殊类型矩阵。我们已经熟悉了其中的 U 矩阵：它是一个主对角线上有主元素且其余部分为零的上三角矩阵。 当通过消元法将A变为U时，在此过程中产生的乘数 lij（即在执行行i减去行j倍数的操作中使用的系数）会形成另一个下三角形矩阵L。从一个2×2的例子来看，给定矩阵 A 包含元素 2,1,6,8 。我们的目标是消除掉数字6。 具体步骤为：用第二行减去三倍的第一行（即乘数 l21 = 3 的E21操作）。为了由U反推回A，则需要通过L=E−121来实现，这里的逆矩阵代表了将加法运算从-3变回到+3的过程。这便是如何利用下三角形的L矩阵完成消元步骤的逆转，并最终恢复原始矩阵A的过程。
     
  • CGM(A,b): 利用共轭梯度法求解Ax=b - MATLAB实现
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    本文介绍了利用MATLAB编程实现共轭梯度法（Conjugate Gradient Method, CGM）来求解线性方程组Ax=b的过程，提供了一种高效的数值计算方法。 使用共轭梯度法求解 Ax=b 问题时，矩阵 A 应该是对称且正定的。函数用法如下：x=cgm(A,b)；如果矩阵是稀疏矩阵，则可以尝试 x=cgm(稀疏(A),b)。
     
  • 基于MATLAB的线性矩阵不等式求解方法
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    本文章主要介绍了如何利用MATLAB软件进行线性矩阵不等式的建模与求解，并探讨了几种有效的LMI解决策略。该文对工程技术和数学研究领域的专业人士和学生具有参考价值。 近年来,线性矩阵不等式（LMI）在解决系统与控制领域的一系列问题上得到了广泛应用。随着LMI内点法的提出以及Matlab中LMI 控制工具箱的推广，这一工具已经受到了广泛重视。如今，该工具箱已经成为从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的强大设计工具之一。由于许多控制问题都可以转化为一个LMI系统的可行性问题或具有LMI约束的大规模优化问题，因此应用LMI来解决这些问题已成为这些领域中的重要研究热点。
     
  • 利用QR分解法求解线性方程组Ax=b
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    本文介绍了如何运用QR分解方法来解决形如Ax=b的线性方程组问题。通过矩阵A的QR分解，简化了求解过程，并提高了数值稳定性。 QR分解法求解线性方程组Ax=b时，能够获得较为精确的数值计算结果。
     
  • 基于MATLAB的线性矩阵不等式(LMI)求解方法_LMI_
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    本文章介绍如何利用MATLAB工具箱中的函数来解决线性矩阵不等式的优化问题，并探讨了LMI在控制系统设计中的应用。 线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities, LMI）在现代控制理论、优化问题及系统理论领域扮演着重要的角色。LMI是一种数学形式，用于表示并解决涉及矩阵变量的约束条件问题，在MATLAB中通过其“lmi solver”函数可以便捷地求解这些不等式。 1. **基础知识**： 线性矩阵不等式通常表现为A - X * B * X^T ≤ 0的形式。这里，A和B是已知对称矩阵，X为未知的对称矩阵。该表达式的含义是在所有可能的X值下，A - X * B * X^T的所有元素都不超过零。LMI问题通常涉及寻找满足特定条件下的矩阵X，并同时符合其他线性约束。 2. **MATLAB中的求解方法**： 在MATLAB中，`lmi solver`函数是解决此类问题的关键工具之一。它应用了内部的内点法算法来处理具有复杂结构的优化问题。用户需要定义LMI变量、目标函数和约束条件，并调用`solve`进行计算。 3. **实际应用**： - 控制理论：在控制器设计中，如线性二次调节器（LQR）、H_∞控制及鲁棒控制系统。 - 系统稳定性分析：用于证明或评估系统的稳定性质。 - 信号处理领域：适用于滤波器的设计、信道均衡和估计问题等。 - 凸优化问题的求解：包括二次规划和其他多变量函数最小化。 4. **MATLAB中的具体步骤**： a) 定义变量 b) 建立约束条件 c) 设定目标函数（如果需要的话） d) 使用`solve`进行计算，得到结果矩阵和优化后的数值。 e) 解析并分析求解的结果 5. **工具箱介绍**： MATLAB的优化工具箱不仅提供了LMI solver，还包括了其他多种用于解决不同类型的优化问题的方法。 6. **注意事项**： - LMI问题必须具备可行性（即存在满足所有约束条件的解决方案）。 - 问题规模会影响计算效率和内存使用情况；大规模的问题可能需要更多的计算资源。 - 对于非凸LMI问题，可能需要采用不同的算法或工具。
     
  • int(f,a,b): 使用自适应辛普森法则计算f(x)在x=a到x=b区间内的积分 - MATLAB开发
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    这段代码提供了使用MATLAB实现的自适应辛普森法，用于精确地计算给定函数f(x)从a到b区间的定积分。它通过递归细分提高精度，是数值分析中的重要工具。 该程序使用自适应辛普森规则计算函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的积分。可以通过简单的命令 int(@f,a,b) 来运行此程序，其中 f 是通过函数文件或过程定义的，也可以是匿名函数形式。在定义函数时不需要使用 MATLAB 向量化功能。
     
  • 高斯消元法（Gaussian Elimination）：利用带部分主元的高斯消元法求解线性方程组Ax=b（MATLAB实现）
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    本教程介绍使用MATLAB编程语言实施带部分主元素的高斯消去法，用于解决形如Ax=b的线性方程组问题。 使用带有部分枢轴的高斯消去法解决线性系统。 句法：x = gaussian_elimination(A,b) 描述：x = gaussian_elimination(A,b) 解决线性系统，其中 A 和 b 分别表示系数矩阵与常数向量。 有关其他文档和示例，请参见“DOCUMENTATION.pdf”。
     
  • MATLAB中线性矩阵不等式(LMI)的求解方法.pdf
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    本文档深入探讨了在MATLAB环境下解决线性矩阵不等式的多种策略与技巧，旨在帮助读者掌握LMI工具箱的有效使用方法。 线性矩阵不等式(LMI)的MATLAB求解方法涉及使用专门的工具箱来处理这类问题。LMI在控制系统分析与设计中有广泛应用，通过Matlab内置函数可以方便地定义、操作及解决复杂的LMI约束条件。
     
  • 利用高斯消元法求解线性方程组（C++）
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    本文章介绍如何使用C++编程语言实现高斯消元法来解决线性代数中的线性方程组问题，详细讲解了算法原理和具体代码实践。 用高斯消元法解方程组： 21.0x₁ + 67.0x₂ + 88.0x₃ + 73.0x₄ = 141.0 76.0x₁ + 63.0x₂ + 7.0x₃ + 20.0x₄ = 109.0 85.0x₂ + 56.0x₃ + 54.0x₄ = 218.0 19.3x₁ + 43.0x₂ + 30.2x₃ + 29.4x₄ = 93.7