基于FFT的线性卷积算法及MATLAB实现.docx
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简介：
本文档探讨了基于快速傅里叶变换（FFT）的高效线性卷积算法，并详细介绍了该算法在MATLAB中的具体实现方法与应用实例。
线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一，在许多重要应用如卷积滤波等领域有着广泛的应用基础。利用快速傅里叶变换（FFT）计算线性卷积的方法能够显著提高效率。
在探讨基于FFT的线性卷积算法前，首先需要了解循环卷积的概念：将两个序列扩展至相同长度后进行卷积运算。对于给定的两个序列x(n)和h(n)，可以将其分别扩展到L点，并执行循环卷积操作。当L≥N1+N2-1时，这种操作的结果等同于线性卷积。
基于FFT的线性卷积算法包含以下步骤：
a. 计算X(k)=FFT[x(n)]
b. 求H(k)=FFT[h(n)]
c. Y(k) = H(k)*X(k)
d. y(n) = IFFT[Y(k)]
可以看出，通过两次快速傅里叶变换和一次逆变即可完成线性卷积的计算。当序列长度L大于32时，这种算法相较于直接方法更为高效。
然而，在处理x(n)与h(n)长度差异较大的情况（例如一个非常长的输入信号与有限单位脉冲响应进行滤波），此快速卷积法可能并不适用。因此，可以考虑将较长序列分割成若干段再分别计算的方法来保持算法效率：
1. 重叠相加法：将x(n)分为多个部分，每一段都和h(n)做卷积运算，并把所有结果累加起来。
计算步骤如下：
a. 先准备滤波器参数H(k)=DFT[h(n)]
b. 用N点FFT计算Xi(k)=DFT[xi(n)]
c. Yi(k)=Xi(k) * H(k)
d. yi(n)=IDFT[Yi(k)]通过N点IFFT求得
e. 将重叠部分相加起来
2. 重叠保存法：将x(n)分割为若干小段，每一段分别与h(n)进行卷积运算，并累加所有结果。
在MATLAB中实现此算法时可以使用fft和ifft函数。例如：
```matlab
x = randn(1024, 1);
h = randn(256, 1);
L = 2048;
X = fft(x,L);
H = fft(h,L);
Y = X .* H;
y = ifft(Y,L);
```
上述代码中，x表示输入信号序列，h为卷积核；而X和H则是它们的快速傅里叶变换结果。最后通过逆FFT得到线性卷积的结果y。
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