《微积分讲稿——一元微积分》由谢锡麟教授编写，本书为复旦大学数学系内部教材，系统阐述了一元函数微积分的基本理论与方法。本次发布为拆分重组后的PDF版本，便于学习和参考。
微积分是数学的重要分支之一，它专注于研究函数、极限、微分及积分等领域。在微积分的发展历程里，牛顿与莱布尼茨两位科学家扮演着至关重要的角色，他们各自从物理学和几何学的角度独立地发明了这一学科体系。
微积分的核心思想在于运用极限的概念来解决各种数学问题，并且通过局部线性化等方法实现其目标。该领域包括三大部分：微分、积分及级数理论。
函数是微积分中的一个关键概念，它描述的是两个量之间的依赖关系，通常用y=f(x)的形式表示出来。对这些函数的研究主要集中在它们的变化性质上，这又可以细分为局部变化和整体变化两大类。其中，局部变化的分析通过微分学来进行；而整体性的研究则依靠积分学来完成。
极限是构成微积分的一个基础概念，它描述了数学对象（如函数或数列）在某变量趋向特定值时的行为表现。“lim”符号用来表示这种极限情况，例如当n无限增大时数列{xn}的极限可以写作“lim(n→∞)xn”，而函数f(x)在x趋近于x0时的极限则写为“lim(x→x0)f(x)”形式。
微分学主要关注的是研究函数在其某一点处的变化率，也就是导数。这一概念描述了给定位置上曲线切线斜率的情况，即该点瞬时变化的速度。一阶和二阶导数分别用f(x)和f(x)来表示，并且它们各自代表不同层级的瞬态速率；此外还有左、右导数的概念用于明确函数在某一点两侧的具体变化趋势。
积分学则是微积分另一重要组成部分，它专注于研究函数的整体性质。具体来说，包括不定积分（求原函数的过程）和定积分（计算给定区间上的面积）。其中，后者通常表示为∫ba f(x)dx，并且用来衡量曲线下方面积的代数总和。
在探讨微分学及积分学时也涉及到了一些特殊类型的区域概念。例如，开区间(a, b)并不包括端点a与b；而闭区间[a, b]则包含了这两个边界值；去心邻域则是指从某个中心位置移除掉该特定点后的周边范围。
微积分课程中还提到了实数集、复数集合以及n维欧几里得空间等重要数学概念和工具，这些都是深入学习这一学科必不可少的知识体系。通过掌握这些基础知识，初学者可以为更进一步的探索奠定坚实的基础，并且逐渐体会到微积分不仅是解决数学问题的一种手段，更是理解自然界现象的强大工具之一。
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