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简介：本文探讨了电磁波
第三章 二维介质柱电磁散射
本节仅讨论横磁平面波（TM）入射的情况，在这种情况下电场只有z分量。
总场的电场积分方程为：
\[ (E)_{\text{inc}}(r) = \frac{-1}{4\pi} \int_S d^2s \, R(r - r) H^{(1)}_0(k|R|) E(r), \]
其中$R = -(r-r)$, $S$是介质柱的横截面。
为了简化计算，我们选择脉冲基函数，并将横截面分割成许多小矩形单元。在每个单元内，电场和介电常数$\varepsilon(r)$被认为是均匀的，在各个单元中心进行点匹配。从上述方程可以看出，矩阵元素的主要计算在于汉克尔函数$H^{(1)}_0(kR)$在这些矩形区域上的面积积分。
数值结果表明：在一定的精度范围内，可以将矩形单元上的积分用等面积圆盘的积分来代替。条件是单元边长$a$需要满足：
\[ a \leq 2r_0/\varepsilon, \]
其中$r_0$是一个参考半径值。
汉克尔函数在圆形区域上进行面积分时，有解析解形式如下所示：
\[
H^{(1)}_{ij} =
\begin{cases}
\dfrac{\pi}{i}\left(\dfrac{j^2a_i^2J_0(kr_j) - ija_iJ_0(kr_j)}{k^2a_i^2 + j^4/k^2}\right), & \text{if } ij = k \\
\dfrac{-1}{\pi}H^{(1)}_{kj}, & \text{otherwise}
\end{cases},
\]
其中$a_j$是第$j$个单元对应圆的半径。
利用上述解析解，可以离散化原来的积分方程：
\[ E_i(r) = (E)^{\text{inc}}_i + \Lambda_{ij}^{-1}(k a_i H^{(1)}_{kj})J(kr_j),\]
其中$\Lambda$是相应的矩阵。
最终的计算形式可以写成矩阵的形式如下所示:
\[ G(a, b)_i = N \sum_{j=1}^N k a_i H^{(1)}_0 (k r_j) J(k r_j). \]
5星
