经典超小波分析及其应用。

简介：
尽管小波变换在数据压缩和降噪等诸多领域展现出优异的性能，但可分离的二维小波变换（并非直接构建）是通过先对行进行一维小波变换，再对列进行一维小波变换而获得的。 此外，直接利用两个可分离的一维函数基构建的二维变换，从数学上讲并非真正的二维函数。 这种方法将基函数的支撑区域扩展为正方形，并且基函数的方向性相对较弱，这限制了小波变换在更广泛应用中的潜力。 进一步地，由于采用了亚抽样技术，目标提取过程中会产生信息模糊，从而对信息利用率造成显著的影响。 众所周知，当一个基函数能够与被逼近的函数高度匹配时，其相应的投影系数通常较大，表明变换的能量集中度较高。 因此，对于平坦区域而言，小波变换的表示效率相当高；然而，对于图像中具有明显方向性的边缘以及纹理而言，由于匹配度较低，导致其表示效率偏低。 在高维情况下，小波分析往往无法充分利用数据本身固有的几何特征，因此并不能被认为是最佳或“最稀疏”的函数表示方法。 多尺度几何发展的核心目的和驱动力在于致力于发展一种全新的、高效的高维函数表示方法。 为了克服传统小波分析所存在的不足之处，研究人员一直在积极探索改进方法。 我们将这些改进方法统称为超小波分析方法（Beyond Wavelet）。 讨论超小波分析时首先需要对其进行明确定义：超小波分析实质上是对近期人们致力于改变传统小波分析的一种拓展和深化。