曲线拟合的最小二乘法在MATLAB中的示例

简介：
该方法在Matlab中的实现示例：曲线拟合的最小二乘法该技术基于$y = f(x)$模型构建数据关系，通过最小化误差平方和实现最优拟合曲线确定。其本质是寻找在所有可能函数中，能够最好地描述数据特征的那个函数。在数据分析领域中，曲线拟合是一项广泛应用的技术，它旨在确定最佳的一条曲线或函数以精确地匹配一组数据点。这种技术在科学、工程及商业分析等多个领域均发挥着重要作用，其中最小二乘法被广泛采用作为 curve fitting 的核心方法之一。我们面对的是一个由一批离散数据点 (x_i, y_i) 组成的集合。我们的目标是使用函数 f(x; θ) 来最佳拟合这些观测值。其中，θ 表示该函数的参数。通过最小化各数据点与该函数曲线之间的垂直距离平方和，我们能够确定一个最优参数组合 θ*。数学上可以表示为：参数theta^*被定义为使得损失函数sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i; theta))^2达到最小值的最优参数向量。当函数 (f(x; theta)) 关于参数 (theta) 展现线性特征时，该问题可通过解析方法实现求解。具体而言，需通过建立并求解法方程组来确定最优参数值 (theta^*)。这些法方程是一组线性方程组，其共同的解即为所寻求的最佳参数。例如，在实际应用中，我们希望使用一个多项式 p(x) = theta_0 + theta_1 x + theta_2 x^2 + ... + theta_m x^m 来近似一组数据点。在这种情况下，法方程可以表示为： $mathbf{A}^top mathbf{A} theta = mathbf{A}^top mathbf{y}$其中涉及到由...构成的$m+1$阶多项式系数向量$\theta = [theta_0, theta_1, ..., theta_m]^T$与响应变量向量$\mathbf{y}= [y_1,y_2,..., y_n]^T$之间的线性方程组求解过程。 其中涉及到由...构成的$m+1$阶多项式系数向量$\theta = [\theta_0, \theta_1, ..., \theta_m]^T$与响应变量向量$\mathbf{y}= [y_1,y_2,..., y_n]^T$之间的线性方程组求解过程。 其中涉及到由...构成的$m+1$阶多项式系数向量$\theta = [\theta_0, \theta_1, ..., \theta_m]^T$与响应变量向量$\mathbf{y}= [y_1,y_2,..., y_n]^T$之间的线性方程组求解过程。 其中矩阵$\mathbf{A}$是用来表示的$n \times (m+1)$维数据集中的特征信息的集合，而向量$\mathbf{y}$则包含与这些特征相对应的观测值$y_i$。 二、数值案例分析乌鲁木齐地区每日早晨大约七点的时间段内呈现了不同温度数据集。研究团队通过改变多项式阶次的数值来拟合这些观测值，并对比分析不同模型在预测效果上的差异。 温度数据表用于记录和分析温度变化的系统性表格，通常包含时间戳、测量值以及相关注释或计算结果。这是一个持续性的温度记录表。在第1天时的气温显示为9℃。当天气逐渐发展到第2天至第30天期间，观察到温度持续上升的趋势，在第30天时达到了最低点1℃。 Matlab程序代码```matlab x = [1:1:30]; % x轴的数据 y = [9, 10, 11, 12, 13, 14, 13, 12, 11, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 11, 9, 7, 6, 5, 3, 1]; % y轴的数据 a1 = polyfit(x, y, 3); % 三次多项式拟合 a2 = polyfit(x, y, 9); % 九次多项式拟合 a3 = polyfit(x, y, 15); % 十五次多项式拟合 b1 = polyval(a1, x); b2 = polyval(a2, x); b3 = polyval(a3, x); r1 = sum((y - b1).^2); % 三次多项式的误差平方和 r2 = sum((y - b2).^2); % 九次多项式的误差平方和 r3 = sum((y - b3).^2); % 十五次多项式的误差平方和 plot(x, y, *); % 原始数据点 hold on; plot(x, b1, r); % 三次多项式拟合曲线 plot(x, b2, g); % 九次多项式拟合曲线 plot(x, b3, b:o); % 十五次多项式拟合曲线 legend(原始数据, 三次多项式, 九次多项式, 十五次多项式); ```数值数据的呈现方式：是基于...三次多项式的应用导致的误差平方和为r1 = 67.6659；九次多项式配合使用的误差平方和为r2 = 20.1060； fifteen次多项式应用后的误差平方和为r3 = 3.7952。 结论：观察到的结果表明，在增加拟合多项式阶数的过程中，误差平方和逐渐减小。然而，这不能简单认为更高阶次就是最优选择。例如，在所有多项式中，15阶多项式的误差平方和达到最小值，尽管如此，这样的高次多项式可能会出现过拟合问题：模型过度关注训练数据中的噪声信息，而忽略了数据中反映真实趋势的部分。因此，在实际情况中，我们需要根据具体情况综合考虑模型复杂度与拟合效果之间的平衡关系，选择最合适的阶数。为此，通常会采用交叉验证等技术手段来评估模型的泛化能力，并以此为依据避免过拟合现象的发生。