微积分入门（大学版）.pdf

简介：
《微积分入门（大学版）》是一本专为大学生设计的基础教材，系统介绍了微积分的核心概念和基本技巧，旨在帮助学生掌握分析数学问题的能力。 ### 大学微积分入门——定积分的概念与性质 #### 一、定积分的基本概念 在微积分中，定积分是一种重要的数学工具，用于解决多种实际问题，例如计算曲边梯形的面积、求解变速直线运动的路程等。本章节将详细介绍定积分的基本概念及其性质。 #### 二、曲边梯形面积的近似计算 考虑一个由连续曲线 \(y = f(x)\)（其中\(f(x) \geq 0\)）、x轴以及两条直线 \(x = a\) 和 \(x = b\) 围成的曲边梯形。为了估算该曲边梯形的面积，可以采用分割的方法将其划分为多个矩形，并利用这些矩形的面积之和来近似曲边梯形的面积。 具体步骤如下： 1. **分割**：在区间\[a, b\]内插入若干个分点，将原区间分割为n个小区间。 2. **近似**：在每个小区间上选取一点 \(\xi_i\)，用以该点的函数值 \(f(\xi_i)\) 作为高，小区间的长度 \(\Delta x_i\) 作为底，构造一个矩形。所有矩形的面积之和可以用来近似整个曲边梯形的面积。 3. **求极限**：随着分割越来越细，即 \(\lambda \to 0\)（其中\(\lambda\)表示小区间的最大长度），矩形面积之和趋于稳定值，即曲边梯形的真实面积。 数学表达为： \[ A = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \] 其中，\(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)，\(\lambda = \max{\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}}\)。 #### 三、变速直线运动的路程计算 假设有一个物体沿直线运动，其速度 \(v(t)\) 在时间间隔\[T_1, T_2\]内是关于时间 \(t\) 的连续函数，并且 \(v(t) \geq 0\)。要求解该物体在这段时间内经过的总路程，可以通过以下步骤进行： 1. **分割**：将时间间隔\[T_1, T_2\]分割为n个小的时间段。 2. **近似**：在每个时间段内假设物体的速度保持不变，从而计算出每一段的小路程。 3. **求极限**：随着时间段划分越来越细，各个小路程之和的极限值就是物体在\[T_1, T_2\]内的总路程。 数学表达为： \[ s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i \] 其中，\(\Delta t_i = t_i - t_{i-1}\)，\(\lambda = \max{\{\Delta t_1, \Delta t_2, \ldots, \Delta t_n\}}\)。 #### 四、定积分的定义 对于有界函数 \(f(x)\) 在闭区间\[a, b\]上，无论如何进行分割和选取 \(\xi_i\)，只要当分割越来越细时（\(\lambda \to 0\)），所有小矩形面积之和的极限值存在且唯一，那么这个极限值称为函数 \(f(x)\) 在区间\[a, b\]上的定积分，记作： \[ \int_a^b f(x) dx \] 这里，\(f(x)\) 称为被积函数，\(dx\) 称为积分变量，\([a, b]\) 称为积分区间，\(a\) 和 \(b\) 分别称为积分下限和积分上限，而 \(\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i\) 称为积分和。 #### 五、定积分的性质 - **线性性**：若函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间\[a, b\]上均可积，且 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是常数，则 \[ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx \ - **区间可加性**：若函数 \(f(x)\) 在区间\[a, c\] 和 \([c, b]\] 上均可积，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\] 上也一定可积，且 \[ \int_a^