西北工业大学矩阵论课程讲义

简介：
《西北工业大学矩阵论课程讲义》是为在校学生及科研工作者编写的教学资料，涵盖线性代数与矩阵理论的核心概念、定理及其应用。 根据给定文件中的信息，“矩阵论”的关键知识点可以总结如下： ### 矩阵论基础概念 #### 集合与映射 **集合**：表示为一个整体的一组对象，可以通过列举法或性质法定义。 - **列举法**：直接列出所有元素。 - **性质法**：通过描述集合内元素的特定属性来定义集合。 两个集合相等当且仅当它们包含相同的元素。常见的操作包括交集、并集和加运算（通常指集合中的其他特殊操作）。 #### 数域 数域是指关于四则运算封闭的数值系统，常用的有实数域( mathbb{R} )、复数域( mathbb{C} )及有理数域( mathbb{Q} )等。 #### 映射 映射是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中唯一的元素。当两个集合相同时，这种映射称为变换。 ### 线性空间基本理论 线性空间（向量空间）是由数域和一组定义了加法与数乘运算的元素构成，并满足特定公理。 #### 线性空间的公理 - **加法**： - 封闭性：任何两个元素相加的结果仍在集合内。 - 结合律、交换律 - 零元及负元的存在性和性质，确保每个向量都有相反数和一个零向量。 - **数乘** - 与上述类似地定义封闭性以及结合分配律等数学规则以保证运算的一致性和完整性。 #### 线性空间的例子 常见的线性空间包括： - 向量空间：如( mathbb{R}^n )，表示所有 n 维实向量的集合。 - 矩阵空间：例如 (mathbb{R}^{m times n}) 表示所有 m×n 实矩阵组成的集合并具备线性运算性质。 - 多项式空间和函数空间等。 #### 特殊例子 文件还提到正实数集合( mathbb{R}_+ )构成一个特殊的线性空间。通过定义在该集合上的特殊加法与乘法规则，证明了它满足线性空间的所有要求。 以上是“矩阵论”课程中基础知识点的详细解释和总结，这些概念对于深入理解矩阵理论至关重要。