本资料为《矩阵论复习资料PDF》提供全面而精炼的矩阵理论总结与习题解析，涵盖线性空间、矩阵分解等核心内容，适用于研究生课程学习及考试准备。
矩阵论作为线性代数的一个重要分支，主要研究矩阵的性质、运算以及它们在科学计算中的应用。以下是关键知识点的详细阐述。
1. 矩阵的迹：
- **迹**是指对角线上元素之和。
- 该值具有以下特点：(tr(AB) = tr(A) + tr(B))，常数乘以矩阵的迹等于常数与矩阵迹相乘 (tr(cA) = c * tr(A))。若c是常数，则(tr(cA) = tr(Ac))。
- 对于复数矩阵，其共轭转置和原矩阵有相同的迹：(tr(A^*) = tr(A)^*)（*表示复数的共轭）。
- 交换乘法顺序不影响迹值：(tr(AB) = tr(BA))。对于非奇异矩阵B, (tr(ABA^{-1})=tr(B))，且当(tr(HH)=0)，则矩阵A为零矩阵。(tr(Lambda) = sum_{i=1}^{n} lambda_i)，其中Lambda是特征值组成的对角阵。
- 矩阵迹的其他性质包括：(tr(A) = sum_{i=1}^{n} lambda_i^k)，这里k表示任意整数。
2. 矩阵的秩：
- **矩阵的秩**指其最大线性无关行或列的数量，揭示了矩阵中的结构。
- 一个矩阵与其转置具有相同的秩：(rank(A) = rank(A^T))。若P和Q是非奇异矩阵，则(rank(A)=rank(PAQ)).
- 矩阵加上零矩阵不会影响其秩：(rank(A)+rank(0)=rank(A))，且有不等式关系如 (rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))) 和 (A的n×n方阵可逆时, rank(A) = n)，否则 (rank(A)
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