MATLAB实验报告 01：列主元消去法（含全部源代码）- 数值计算方法
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简介：
本实验报告详细探讨了数值计算方法中的列主元消去法，并附有完整MATLAB源代码，旨在帮助学生理解和实现该算法。
实验一：列主元消去法
**实验内容**
1. 理解高斯顺序消去法；
2. 掌握主元高斯消去法在求解精度上的优势；
3. 编写实现列主元消去法的程序代码；
4. 学会使用系统内置命令来解决具有唯一解的线性方程组问题。
**实验方法与步骤**
一、回答以下问题：
1. 线性方程组直接解法和迭代解法分别是什么，它们各自的特点及适用的问题类型？
2. LU 分解属于哪种求解方式？L 和 U 的特点是什么？LU分解适用于哪些场景，请举例说明。
3. 提供一个舍入误差严重干扰计算精度的例子，并从多角度解释其产生原因。
4. 迭代法的收敛性有何意义，如何判定其是否满足收敛条件？
5. 举个例子并分析迭代解的速度。
二、完成以下任务：
1. 使用Cramer法则、LU分解函数和逆矩阵函数解决P35例题3.2.1中给出的问题。
2. 编写列主元消去法程序，用以求解 P35 例 3.2.1 和习题 3 第 2 题中的问题。
3. 利用雅可比迭代、高斯-塞德尔方法和 SOR 迭代法解决习题三第十三题，并对比分析这几种方法的收敛速度。
**实验结果**
一、第一大题
1. 线性方程组直接解法与迭代解法的概念及特点：
- 直接解法则在有限步骤内通过算术运算可以得到精确的结果。
- 迭代法则采用极限逼近的方式逐步接近线性方程的准确值。
2. LU 分解详解
1) 属于直接求解方法；
2) L 矩阵特征：下三角矩阵且主对角元全为1；
3) U 矩阵特性：上三角形式。
应用范围包括线性方程的解析、逆矩阵计算以及行列式的评估等。
3. 舍入误差示例：
对于积分dx ∫0^∞ (e^-x / x) dx，采用不同方法求解时舍入误差的影响。通过两种不同的递推公式展示，在法1中随着n增加而累积的舍入误差最终导致结果偏差增大；而在法2里即便初始近似值不够精确，但后续迭代过程中逐渐减小了这种影响。
4. 迭代算法收敛性的重要性在于确保解能够无限接近真实值，并且便于编程实现。判断条件通常为序列是否趋于稳定值x*。
5. 用雅可比、高斯-塞德尔及SOR三种方法求解线性方程组，比较其迭代次数与误差变化情况以评估各自的收敛速率和效率。
此实验要求学生不仅掌握基础理论知识，还需动手实践编写代码解决实际问题。
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