数学建模中的常微分方程模型学习方法.ppt

简介：
本PPT旨在探讨和讲解数学建模中常用到的常微分方程模型的学习策略与应用技巧，帮助学习者掌握建立及求解这类问题的方法。 数学建模是解决实际问题的重要工具之一，而常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）在其中占据核心地位。它们被广泛应用于描述动态系统的特性，在物理学、化学、生物学及经济学等领域都有广泛应用。 在这份讲义中，我们将通过一个商品价格波动模型来探讨如何使用常微分方程进行数学建模。我们需要明确两个关键点：一是平衡价格——即市场供需相等时的价格；二是价格变化的惯性特征，这表现为阻尼震荡的过程。基于市场经济的原则，我们试图构建一种能够模拟在健全市场环境下商品价格通过自动调节机制从偏离状态回归到合理水平的数学模型。 建模过程中需要做出一系列假设：首先，商品需求D(t)会随着价格上涨而减少，并且这种关系可以近似为线性——即D(t)=k1*p(t)-b1；同时，供应S(t)随价格上升增加，同样设为S(t)=k2*p(t)+b2。这里k1、b1、k2和b2是常数。根据供需理论，过剩需求（D(t)-S(t）与商品价格的变化率p(t)成正比——即p(t)=k3*(D(t)-S(t))。将这些关系合并起来，我们就能得到一个常微分方程组。 然而，在初始模型中可能无法准确地反映实际情况，比如模型显示价格会单调趋向平衡点，但这与实际中的阻尼震荡行为不符。因此需要对假设进行调整：例如考虑过剩需求随时间的累积效应，并引入积分项以使价格变化不仅依赖于当前的过剩需求还受过去的需求影响。这样就得到了一个改进后的常微分方程模型。 即便如此，分析结果可能仍不满足要求——比如仍然可能出现等幅震荡而非渐进平衡的情况。此时可以再次调整假设，加入政府宏观调控因素的影响：即价格变化不仅与市场供需差有关也与偏离均衡水平的程度相关联。通过这种方式对比例系数进行微调可以使模型更贴近实际的价格动态行为。 通过对模型的不断迭代和优化，我们能够逐步接近现实情况的表现形式。这个过程深刻体现了数学建模中的试错与改进思想，并且突显了常微分方程在模拟复杂系统时的强大能力。通过这样的实践方法可以加深对常微分方程的理解并提高解决实际问题的能力。