智能电网物联网技术中的偏微分方程数值解。

简介：
第二十章 偏微分方程的数值解 在自然科学与工程技术领域中，各种运动的发展过程以及它们所呈现的平衡现象，都遵循着各自特定的规律。这些规律的定量表达通常以含有未知函数及其导数的方程形式呈现。我们特指只包含未知多元函数及其偏导数的方程，并称之为偏微分方程。方程中出现的未知函数偏导数的次数，则被称为偏微分方程的阶数。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都表现出线性关系，那么这样的方程就被定义为线性偏微分方程；否则，它将被归类为非线性偏微分方程。 初始条件和边界条件被统称为定解条件，而未包含定解条件的偏微分方程则被称为泛定方程。对于一个具体的应用场景，定解条件与泛定方程总是同时被提出并考虑。将定解条件与泛定方程作为一个整体来分析，则构成了所谓的定解问题。 §1 偏微分方程的定解问题 许多物理性质的稳定过程（即不随时间变化的过程）都可以通过椭圆型方程来进行描述。其中一种典型的、相对简单的一种形式是泊松(Poisson)方程：),(2222yxfyuxuu =∂∂+∂∂=Δ （1） 特别地，当 0),( ≡yxf 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称之为调和方程 02222=∂∂+∂∂=Δyuxuu （2） 带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、不可压缩流体的稳定无旋流动以及静电场的电势等均满足这类方程。 对于泊松(Poisson)方程的第一边值问题，可以表示为 ⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈ ),(|),(),(),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuyx ϕ （3） 其中 Ω 为以 Γ 为边界的有界区域， Γ 为分段光滑曲线； ΓΩU 被称为定解区域, ),(),,( yxyxf ϕ 分别为 ΓΩ 和 上的已知连续函数。 第二类和第三类边界条件可以统一表示成 ),(),( yxunuyx ϕα =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂Γ∈ （4） 其中 n 为边界 Γ 的外法线方向。当 α 等于 0 时，对应第二类边界条件；当 α 不等于 0 时，则对应第三类边界条件。 在研究热传导过程、气体扩散现象以及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其简单的形式为一个一维热传导方程： )0(022>=∂∂−∂∂axuatu （5） 方程（5）可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题（也称为 Cauchy 问题）。