西南交通大学算法作业第七次

简介：
本作业为《西南交通大学算法课程》第七次练习，涵盖图论、动态规划等核心算法问题，旨在通过实践加深学生对复杂算法的理解与应用。 ### 知识点一：分支限界法在旅行问题中的应用 #### 1. 分支限界法概览 分支限界法是一种用于搜索解空间树的方法，通常用来解决优化问题，例如寻找最小成本路径、最优调度方案等。与回溯法相比，分支限界法更加关注在搜索过程中对解空间树进行剪枝，以减少不必要的搜索，提高效率。 #### 2. 旅行问题背景 本案例中考虑的是一个旅行问题：给定一系列城市及其之间的距离和汽油价格，任务是设计一条从起点到终点的路径，使得总的旅行成本最低。这是一个典型的组合优化问题，可以通过分支限界法来解决。 #### 3. 目标函数、限界函数及约束函数 - **目标函数**：总旅行成本最小化。 - **限界函数**：基于当前路径的已知成本和未来可能发生的最小成本（即后续城市中汽油价格最低的成本）的估计。 - **约束函数**：确保路径上的每一步都满足物理上的可行性（如剩余油量足够行驶至下一个城市）。 #### 4. 解空间树和搜索空间树 - **解空间树**：描述了所有可能的解路径，每个节点代表一个城市的访问顺序。 - **搜索空间树**：展示了实际搜索过程中经过的路径，包括已访问的城市和未访问的城市。 #### 5. 算法时间复杂度分析 对于这个问题，在最坏情况下分支限界法的时间复杂度大约为O(n!)，因为需要考虑所有可能的路径组合。但是通过有效的限界函数和剪枝策略，实际运行的时间复杂度会显著降低。 ### 知识点二：分支限界法在贪吃蛇游戏中的应用 #### 1. 贪吃蛇游戏背景 在贪吃蛇游戏中，目标是让蛇从当前位置移动到出口位置，并尽可能减少移动的步数。同时确保每一步都避开障碍物或自己的身体。 #### 2. 算法设计思路 - **目标函数**：最少移动步数。 - **限界函数**：基于当前路径的步数和剩余最短路径步数的估计。 - **约束函数**：保证蛇在每次移动时都不会碰到障碍物或自己。 #### 3. 解空间树和搜索空间树 - **解空间树**：描述了所有可能的移动路径，每个节点代表蛇的一个位置状态。 - **搜索空间树**：展示了实际搜索过程中经过的状态，包括当前位置和下一步可能的位置。 #### 4. 算法时间复杂度分析 对于这个问题，在最坏情况下时间复杂度为O(4^L)，其中L是蛇的长度。每一步都有四种方向选择的可能性。通过使用分支限界法进行有效的剪枝可以大大减少搜索的时间。 ### C/C++实现框架 ```cpp #include #include #include #include using namespace std; #define MAXNNUM 1000 int head[MAXNNUM]; bool visited[MAXNNUM][MAXNNUM]; int expense[MAXNNUM][MAXNNUM]; typedef struct HeapNode { int nowplace; int res; int cost; } HeapNode; HeapNode Heap[MAXNNUM]; // 其他必要的辅助函数和主函数实现... ``` ```cpp #include #include #include #include using namespace std; #define MAXNNUM 20 int board[MAXNNUM][MAXNNUM]; bool visited[MAXNNUM][MAXNNUM]; typedef struct SnakeNode { int pos[MAXNNUM][2]; // 保存蛇的每一个位置 int step; } SnakeNode; SnakeNode Snake[MAXNNUM]; // 其他必要的辅助函数和主函数实现... ``` 以上是对给定文件中的两个问题的知识点总结，包括理论分析、算法设计思路以及部分C/C++实现框架。