方程与方程组求解-深度学习笔记（版本5.61）
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简介：
本笔记深入探讨了利用深度学习技术解决方程及方程组的方法，涵盖算法原理、模型架构和实践应用，持续更新至版本5.61。
2.3 方程及方程组求解
1stOpt 可以解决任意形式的线性、非线性方程或方程组的问题，其关键字是“Function”。
### 一般方程组求解
**例-1**
考虑以下三个耦合的三角函数和指数表达式构成的联立方程：
\[
\begin{cases}
(x - 0.3)^y^z + \frac{x}{yz} - x y \sin(z) + (x+y-z)^{\cos(x-1)} = 1 \\
(y - 0.2)^z^x + \frac{y}{zx} - y z \sin(x) + (y+z-x)^{\cos(y-2)} = 2 \\
(z - 0.1)^x^y + \frac{z}{xy} - z x \sin(y) + (z+x-y)^{\cos(z-3)} = 3
\end{cases}
\]
使用1stOpt求解该方程组的代码如下：
```plaintext
Parameter x, y, z;
Function
(x-0.3)^y^z + x/y/z - x*y*sin(z) + (x+y-z)^cos(x-1) = 1;
(y-0.2)^z^x + y/z/x - y*z*sin(x) + (y+z-x)^cos(y-2) = 2;
(z-0.1)^x^y + z/x/y - z*x*sin(y) + (z+x-y)^cos(z-3) = 3;
```
求解结果为：\( x=0.79390634413219 \)， \( y = 0.902585377949916 \)， \( z = 1.21622367662841 \)。
**例-2**
考虑以下形式的指数方程组：
\[
\begin{cases}
e^{-0.1x_1} - e^{0.1x_2} - x_3(e^{-0.1}-e^{-1}) = 0 \\
e^{-0.2x_1} - e^{0.2x_2} - x_3(e^{-0.2}-e^{-2}) = 0 \\
e^{-0.3x_1} - e^{0.3x_2} - x_3(e^{-0.3}-e^{-3}) = 0
\end{cases}
\]
其中，\(x_1 \in [-10, 10]\)， \(x_2 \in [-10, 10]\) 和 \(x_3 \in [0.1, 5]\).
使用1stOpt求解该方程组的代码如下：
```plaintext
Parameter x1[-10, 10], x2[-10, 10], x3[0.1, 5];
Function
exp(-0.1*x1) - exp(0.1*x2) - x3*(exp(-0.1)-exp(-1)) = 0;
exp(-0.2*x1) - exp(0.2*x2) - x3*(exp(-0.2)-exp(-2)) = 0;
exp(-0.3*x1) - exp(0.3*x2) - x3*(exp(-0.3)-exp(-3)) = 0;
```
求解结果为：\(x_1=1\)， \(x_2=-10\) ， \(x_3=1\).
### 循环方程组的求解
如果给定一个包含变量k（范围从0到1，步长为0.05）的循环方程组，并试图找到不同 k 值下的 x 和 y 的值。
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