利用MATLAB结合最速下降法和牛顿法求解函数最大值并动态展示求解路径

简介：
本研究运用MATLAB软件，通过最速下降法及牛顿法来寻找多元函数的最大值，并以动画形式展现优化过程中的路径变化。 我的思路是这样的：最速下降法可以找到全局最优解，但在接近最优解的区域容易陷入“齿型”迭代模式，导致每一步迭代都需要花费很长时间。比如在我的程序中，如果第一步迭代精度设置得很小（如0.000000001），我等了一个小时都没有得到结果。 相比之下，牛顿法求解优化问题的速度要快得多，并且能够高度逼近最优值而不会出现长时间等待的情况。对于后续的精度要求可以非常高（例如：取到 0.0000000000001）。然而，牛顿法也有缺点，它对初始点的要求非常严格，如果选择不当会导致不收敛甚至得到非最优解的问题。 因此我们的目标是为牛顿法找到一个好的初始点，并且这个点应该尽可能接近全局最优点。这样可以确保牛顿法能够以高精度快速收敛到最优点。概括来说： 1. 使用最速下降法在大范围内寻找一个适合的起点供牛顿法使用（即使在较低精度下，这种方法的速度也相当快）。 2. 在最优解附近切换至牛顿法，并用最速下降法找到的点作为初始值，从而提高逼近速度和精度。 3. 结合这两种方法可以同时提升逼近精确度与效率，并且能够保证全局最优性。这样就能充分利用各自的优势并避免各自的缺点，达到理想的效果。