本资料提供东北大学计算机学院博士生入学考试中《计算机网络》课程的部分习题参考答案，适用于备考学生深入理解与复习相关知识。
在环R内证明若1−ab可逆，则1−ba也可逆。
证明如下：
a(1− ba) = a − aba = (1− ab)a
因为 1− ab 可逆，设其逆为 c ，则有 ac = ca = 1。
所以：
\[ a(1-ba) = (c-aba)c \]
即:
\[ a - aba = ac - abcac \]
由于 \(ac=ca=1\)，
因此：
\[ a(1−ba) = (1 − ab)a \]
再进一步推导如下：
\[
1 - ba = 1 - b[(1-ab)^{-1}a(1-ba)]
\]
展开得:
\[
[1 + b(1-ab)^{-1}a](1-ba)
\]
令 \(x=(1−ab)−1\)，则有
\[
(1 − ba)( 1+bx a ) = (ba - ab)x a + 1 = 1
\]
所以 \((1- ba)\) 可逆, 并且其逆为：
\[
(1-ba)^{-1} = 1+b(1-ab)^{-1}a.
\]
2. 在环R中，若元素u有右逆，则证明以下三个条件等价：
（1）u有多于一个的右逆；
（2）u是一个左零因子；
（3）u不是单位。
证明如下：
(1)⇒(2): 若 u 有两个不同的右逆 \(v_1\) 和 \(v_2\), 则有
\[uv_1 = uv_2 = 1.\]
因此:
\[u(v_1 - v_2) = uu - uv=0,\]
但因为\(v_1 \neq v_2\),
所以 u 是一个左零因子。
(2)⇒(3): 若假设 u 是单位，则存在 \(u^{-1}\)，使得
\[uu^{-1} = 1.\]
对任意非零的 r，有：
\[ru = ru^{-1}(uu) \neq 0,\]
从而矛盾，因此 u 不是单位。
(3)⇒(1): 若假设 u 只有一个右逆 \(v_4\)。则对于 R 中所有不等于 v_4 的元素 r，
\[ur \neq 1 = uv_4.\]
考虑：
\[u(r - v_4)\]
显然，若 u 不是左零因子，则存在某个非零的 \(r\), 使得
\[u(1-v_4u) = 0,\]
从而有:
\[v_4u=1,\]
所以 \(v_4\) 是 u 的左逆。因此矛盾，说明 u 应该有多于一个右逆。
5星
