《离散数学》第四版（清华大学出版社）课后习题答案

简介：
本书为《离散数学》第四版教材的配套习题解答手册，提供了详尽的问题解析和解题步骤，帮助学生深入理解离散数学的核心概念与理论。 ### 离散数学知识点解析 #### 一、离散数学概述 离散数学是现代数学的一个重要分支，主要研究可以被明确分离出独立元素的结构。这些结构包括但不限于图论、组合数学、数理逻辑等领域。对于计算机科学专业的学生来说，离散数学不仅是必修课程之一，更是学习算法设计、数据结构、计算机安全等高级课程的基础。 #### 二、基本概念与命题逻辑 **1. 命题与复合命题** - **命题定义**: 命题是指能够判断真假的陈述句。不是所有句子都能成为命题，比如疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。 - **简单命题与复合命题**: - **简单命题**: 一个不含任何其他命题的单独陈述。 - **复合命题**: 使用逻辑联结词（如“且”、“或”、“非”等）连接两个或多个简单命题形成的复杂陈述。 **2. 逻辑联结词** - **合取(且)**: 表示当所有相连的简单命题都为真时，整个复合命题才为真。 - **析取(或)**: 只要至少有一个简单的命题为真，则整个复合命题也为真。 - **蕴含(如果...那么...)**: 当前件（条件）为假或者后件（结论）为真的情况下，整个复合命题都成立；唯有当前件为真而后件为假时，该命题才不成立。 - **等价(当且仅当)**: 只有两个简单命题的真假性完全一致时，它们之间的整体关系才是正确的。 #### 三、例题解析 **例1.1**: 判断下列哪些是命题，并进一步分类为简单命题或复合命题。 - (1) 雪是白色的。 - (2) 今天是星期天。 - (3) 这是一道好题目吗？ - (4) 我正在阅读离散数学。 - (5) 天哪！ - (6) 如果今天不下雨，那么我就去公园。 - (7) 我去公园当且仅当下雨。 - (8) 明天是星期一。 - (9) 昨天是周末。 - (10) 小明在图书馆。 - (11) 请坐下。 - (12) 2是偶数或3是奇数。 - (13) 2是偶数且3是奇数。 - (14) 李明与王华是同学。 - (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色。 **解析**: - (3), (5), 和(11) 分别为疑问句、感叹句及祈使句，故不属于命题范畴。 - (4): 因其真值取决于实际情况，这里不将其视为命题。 - (1), (2), (8), (9), (10), (14) 及(15) 是简单的陈述语句，属于简单命题的类型。 - 复合命题包括：（6）和（7），分别代表了蕴含及等价关系；而（12）、（13）则分别为析取与合取。 **例1.2**: 对下列命题进行真假判断。 - (1) √2是无理数。 - (2) 5能被2整除。 - (3) 2是素数且三角形有三条边。 - (4) 雪是黑色的意味着太阳从东方升起。 - (5) 2000年10月1日天气晴好。 - (6) 4是偶数或4是奇数。 - (7) 4是偶数且4是奇数。 - (8) 李明与王华是同学。 - (9) 蓝色和黄色可以调配成绿色。 **解析**: - （1）真，因为√2无法简化为两个整数的比例形式； - （2）假，5不能被2整除； - （3）假：虽然“2是素数”及“三角形有三条边”的陈述都是真实的，但它们通过合取关系形成的复合命题没有实际意义。 - （4）假：“雪是黑色的”为伪，“太阳从东方升起”为真；然而两者之间无逻辑联系； - （5）其真假取决于具体日期的实际天气情况； - （6）真：因为4确实是偶数； - （7）假，由于数字4不能同时既是偶数又是奇数。 - （8）真实性由具体情况决定。 - （9）真，在颜色理论中蓝色和黄色确实可以调配成绿色。 通过以上例题的解析可以看出，离散数学中的命题逻辑不仅是基础理论