《数值计算方法习题解答》由党林立编写，本书为学习数值分析课程的学生提供了丰富的练习题及详细解答，有助于深入理解与掌握数值计算的基本理论和应用技巧。
这份资料主要涉及《党林立版数值计算方法》教材中的习题解答，涵盖了数值精度、误差分析及线性方程组求解等内容。
### 绝对误差与相对误差
在进行数值计算时，不可避免地会产生误差。绝对误差是指实际值与其近似值之间的差值；而相对误差则是指绝对误差占实际值的比例。例如，在给定的示例中：
- 对于`49×10^-2`，其绝对误差限为`0.005`，相对误差限为`0.0102`，表明该数值具有两位有效数字。
- 对于`0.0490`，绝对误差限是`0.00005`，相对误差限为 ` 0.001 02` ，意味着它有三位有效数字。
- 而对于数值`490. 0 0`, 其绝对误差限同样为 ` 0 . 0 05 `, 相对误差则小至 ` . 0 1 % `，表明该数具有五位有效数字。
由此可见，在确定一个数值的有效数字时，需考虑其绝对和相对误差的大小。有效数字越多，则表示这个值越精确。
### 数字精度与有效性
在计算中，有效数字指的是从第一个非零数字到最末尾的一个或多个连续整数序列所代表的数量级范围。例如，在比较π的近似值`722`和实际值`3.14... `时，我们发现两者有三位相同的有效数字即`3.14`. 通过计算可以得到两者的绝对误差及相对误差。
### 数学稳定性
在处理数学问题的过程中，数值稳定性的概念至关重要。如果一个算法是不稳定的，则随着计算步骤的增加，原本存在的误差会逐渐累积和放大，从而导致最终结果失去可信度。例如，在某题中展示了初始值`x_0`处的小误差经过多次迭代后扩大至原来的`10^10`倍的情况。
### 线性方程组求解
线性方程组的解析是数值计算中的重要组成部分之一。书中通过高斯消元法提供了多种具体问题的解决方案，例如：
对于以下线性方程组：
\[
\begin{cases}
2x_1 - x_2 + 3x_3 = 11 \\
-x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 \\
3x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 4
\end{cases}
\]
通过一系列的矩阵变换，如行交换、加减乘法等操作，将方程组转化为阶梯形矩阵形式，并最终求解得到\( x_1=3 \), \( x_2=1 \) 和 \( x_3=1 \).
《党林立版数值计算方法》中讨论的内容包括但不限于绝对误差和相对误差的概念及其应用、有效数字的判断、数值稳定性的分析以及线性方程组求解等。通过学习这些知识点，读者能够更好地掌握数值计算的基本原理和技术。
5星
