为何n个节点的二叉树符合卡特兰数规律

简介：
本文探讨了为什么具有n个节点的不同形态的二叉树数量遵循卡特兰数序列，并解释其背后的数学原理和证明方法。 刚开始接触卡特兰数的时候感到有些困惑，特别是当涉及到左右括号或火车进站问题时，这些问题的结果可以与2*n序列直接对应，并且容易理解。然而对于二叉树的情况，则很难想到如何构造一个包含2*n个数字的序列。 实际上可以把二叉树转换成完全二叉树来帮助理解。假设有一棵由n个节点组成的二叉树，我们可以认为这n个都是父节点，这样就可以补充(n+1)个叶子节点，使其成为一棵(2n+1)节点的完全二叉树。我们将原来的那棵树称为“父亲树”，即全部为父节点构成的树。 对于每个这样的父亲树而言，一定可以找到一个与其相对应的完全二叉树，并且这种对应关系是一一对应的。