利用Python实现最速下降法求解极值的技巧
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简介：
本文章介绍了使用Python编程语言来实施最速下降法，一种用于寻找多元函数局部极小值的有效方法。文中详细解释了如何通过编码技巧高效地运用此算法解决实际问题，适合对优化理论和实践感兴趣的学习者参考。
对于一个多元函数，使用最速下降法（也称为梯度下降法）求其极小值的迭代格式如下：
其中表示负梯度方向，即最速下降方向；αk为搜索步长。
一般情况下，最优步长αk的确定需要采用线性搜索技术。常用的有精确线性搜索和不精确线性搜索两种方法，后者包括Goldstein原则和Wolfe法等具体实现方式。
为了便于调用这些算法，在Python中编写了一个名为linesearch.py的文件来存放相关的子函数。目前仅实现了基于Goldstein原则的线性搜索功能。关于该原则的具体内容可以参考最优化相关教材。
下面提供一个简单的Goldstein线性搜索代码示例（使用Python 3.3版本）：
```python
import math
def goldstein_search(f, grad_f, x_k, d_k):
# Goldstein line search implementation
a = 0
b = float(inf)
t = 1
while f(x_k + t*d_k) > (f(x_k) + c*t*grad_f(x_k).dot(d_k)):
if grad_f(x_k+t*d_k).dot(d_k) >= c * grad_f(x_k).dot(d_k):
return t
b = t
t *= 0.5
while f(x_k + t*d_k) < (f(x_k) + c*t*grad_f(x_k).dot(d_k)):
a = t
if b == float(inf):
t *= 2
else:
t = (b - a)/2
return t
# 其中 f 是目标函数，grad_f 是其梯度，x_k 当前点坐标向量，d_k 搜索方向。
```
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